阿基米德折弦定理是指 在一个圆中，一条由两条长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点，在较长弦上的射影，就是折弦的中点。具体来说，如果AB和BC是圆O的两条弦，且BC > AB，M是弧ABC的中点，那么从M向BC所作的垂线之垂足G就是折弦ABC的中点，即CG = AB + BG。

这个定理的证明方法有多种，以下是其中两种常见的证明方法：

补短法

延长DB至F，使BF = BA。

由于M是弧ABC的中点，所以∠MCA = ∠MAC = ∠MBC。

因为MBAC四点共圆，所以∠MCA + ∠MBA = 180°，∠MBC + ∠MBF = 180°，从而∠MBA = ∠MBF。

由于MB = MB，BF = BA，所以MBF ≌ MBA，从而∠F = ∠MAB = ∠MCB。

因为MF⊥AB，垂足为F，所以MF = MC。

由于MD⊥CF，所以CD = DF = DB + BF = AB + BD。

截长法

在CD上截取DG = DB。

由于MD⊥BG，所以MB = MG，∠MGB = ∠MBC = ∠MAC。

由于M是弧ABC的中点，所以∠MAC = ∠MCA = ∠MGB。

从而∠MGB = ∠MCB + ∠BCA = ∠MCB + ∠BMA，又∠MGB = ∠MCB + ∠GMC，所以∠BMA = ∠GMC。

由于MA = MC，所以三角形MAE ≌ 三角形MCG，从而CG = AE = AB + BE = AB + BG。

这个定理在几何学中有着广泛的应用，特别是在处理涉及圆和弦的问题时，能够提供一种简洁而有效的解决方案。